Frage:
Können zwei Elektronen statistisch denselben räumlichen Punkt einnehmen?
James LT
2017-02-14 03:28:32 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Mein Freund behauptete, wenn wir ein Zwei-Elektronen-Atom im Grundzustand haben und irgendwie die "echte" elektronische Wellenfunktion $ \ psi (\ mathbf {x_1}, \ mathbf {x_2}) $ des Systems erhalten Die statistische Wahrscheinlichkeit, zwei Elektronen (Spin-up und Spin-down) an derselben Stelle $ \ mathbf {x_0} $ zu finden, ist ungleich Null, und das Abstoßungspotential zwischen ihnen sieht aus wie ein Höckerzustand, wenn sich ein Elektron in der Nähe des Kerns befindet.

Ich denke, wenn zwei Elektronen denselben Platz einnehmen, muss die Abstoßung unendlich groß sein, was nicht möglich ist. Ich glaube also, dass die Wahrscheinlichkeit hier verschwinden sollte. Er argumentiert jedoch, dass im dynamischen Fall zwei Elektronen niemals an derselben Stelle sein können, aber statistisch gesehen ist die Wahrscheinlichkeit, die durch Quadrieren der Wellenfunktion erhalten wird, nicht Null.

Ich bin jetzt ziemlich verwirrt. Wer ist richtig?

Update: Der Link hier scheint den folgenden Antworten zu widersprechen. Ich verstehe die Aussage "bei großen Abständen zwischen den Elektronen ist die bedingte Wahrscheinlichkeit größer als die Hälfte der entsprechenden bedingungslosen" nicht ganz. Kann jemand einen Hinweis geben?

Update 2: Einige hilfreiche Referenzen, die von DavePhD erwähnt werden:

Fitzpatricks Quantenchemie "Andererseits besteht im Spin-Singulett-Zustand eine erhöhte Wahrscheinlichkeit, die beiden Elektronen am gleichen Punkt im Raum zu finden (aufgrund des endgültigen Terms im vorherigen Ausdruck). Mit anderen Worten, die Zwei Elektronen werden von einem angezogen.

Fortschritte in der Quantenchemie Band 1, Seite 121: Für den Berylliumtriplett-P-Zustand sind zwei entgegengesetzte Spinelektronen am selben Punkt am wahrscheinlichsten Konfiguration

Eine Aussage in Atkins Physical Chemistry "Die andere Kombination [entgegengesetzte Spins] verschwindet nicht, wenn sich die beiden Elektronen am selben Punkt im Raum befinden."

Dieses Papier bezieht sich auf "die Wahrscheinlichkeit, zwei Elektronen am selben Punkt im Raum zu finden" https://scholarship.rice.edu/bitstream/handle/1911/71020/Capturing%20static%20and%20dynamic%20correlations.pdf?sequence=1
Ich bin mir ziemlich sicher, dass dieses Papier (http://aip.scitation.org/doi/abs/10.1063/1.1727605) die Frage beantwortet, aber ich verstehe es nicht wirklich vollständig ... Im Grunde scheint es so, als ob sie es sind In der * exakten * Wellenfunktion können sich Teilchen (Elektronen oder Kerne) an derselben Stelle befinden, solange sie bestimmte "Höckerbedingungen" erfüllen, die sie im Papier ableiten. Ich könnte ein Missverständnis sein, aber ich denke, das ist wahr ...
@jheindel Dieses Papier zitiert dieses Papier http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/cpa.3160100201/abstract, aber ich habe nicht den vollständigen Text.
Fünf antworten:
#1
+8
Ivan Neretin
2017-02-14 04:43:36 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Elektronen nehmen keine Plätze ein. Davon abgesehen haben Sie größtenteils Recht. Tatsächlich muss $ \ psi (r_1, r_2) $ bei $ r_1 = r_2 $ aufgrund des Spin-Statistik-Theorems verschwinden, wenn nicht aus einem anderen Grund. Aktualisierung. Ich wurde darauf aufmerksam gemacht, dass diese Argumentation nicht ganz richtig ist. siehe den Kommentar unten. Trotzdem würde ich zumindest einen nach unten weisenden Höcker erwarten, ähnlich wie den nach oben weisenden Höcker am Kern, nur umgekehrt.

Dies ist jedoch nicht einfach zu visualisieren. Wir sind es nicht gewohnt, uns mehrdimensionale Oberflächen vorzustellen. Und wenn wir versuchen, uns jeweils auf ein Elektron zu konzentrieren, sind wir mit der Ein-Elektronen-Näherung zurück und das genaue Multipartikel $ \ psi $ geht für uns verloren.

Anziehungskraft bedeuten? Nein, würde es nicht. Sie integrieren sich über den gesamten Raum und finden eine Energiezahl, die sicherlich endlich ist.
Ich denke, der Spin-Teil der Wellenfunktion hat sich bereits um die Antisymmetrie der gesamten Wellenfunktion gekümmert. Der räumliche Teil sollte symmetrisch sein.
Ich bin sehr gespannt auf den ersten Satz. Was könnte ein guter Ort sein, um mehr Informationen darüber zu erhalten?
Jedes Lehrbuch über Quantenchemie würde reichen.
#2
+5
aventurin
2017-02-17 04:08:57 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Da die beiden Elektronen einen antisymmetrischen Spin haben, hat Ihr Freund Recht.

Das Phänomen heißt Fermi-Haufen.

Toller Link! Ich denke jedoch, dass es hier eher darum geht, wie Spin die räumliche Position beeinflusst, als um die genaue Koaleszenzbedingung, an der wir hier interessiert sind. Daves Link zum Reispapier ist relevanter
Der Wikipedia-Artikel über Fermi-Haufen und -Löcher enthält auch Links zu einigen netten Animationen http://quantum.bu.edu/notes/GeneralChemistry/FermniHolesAndHeaps.html
#3
+5
porphyrin
2017-02-22 14:58:49 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Es ist notwendig, die Wellenfunktion für die beiden Elektronen als das Produkt eines räumlichen und Spin-Teils zu betrachten, $ \ psi = \ psi_ {space} \ sigma_ {spin} $. Da es sich bei den Elektronen um Spin-Halbpartikel (Fermionen) handelt, muss die gesamte Wellenfunktion asymmetrisch zum Koordinatenaustausch sein. Die Antwort auf Ihre Frage hängt dann davon ab, ob sich die Elektronen in einem Singulett- oder Triplett-Spin-Zustand befinden.

Im Singulettzustand ('Spin-Paired') ist der räumliche Teil der Wellenfunktion symmetrisch und spinasymmetrisch; $$ \ psi_S = \ psi_ {space} (sym) \ sigma_ {spin} (asym) ) $$ im Triplettzustand mit 'parallelen' Spins ist es umgekehrt.

Die Elektronen können in 4 mögliche Spinzustände kombiniert werden. Wenn Sie die Drehungen als $ \ alpha, \ beta $ bezeichnen, sind die Kombinationen $ \ alpha \ alpha, \ beta \ beta, \ alpha \ beta, \ beta \ alpha $. Von diesen sind die letzten beiden weder symmetrisch noch asymmetrisch und daher lineare Kombinationen sind gemacht, um die richtige Symmetrie zu gewährleisten. Die vier Zustände sind jetzt $ \ alpha \ alpha, \ beta \ beta, \ frac {1} {\ sqrt (2)} (\ alpha \ beta \ pm \ beta \ alpha) $.

Die Anordnung ist in der nächsten Abbildung detaillierter dargestellt, in der ein Vektormodell des Spin-Drehimpulses (Kegel / Pfeile) verwendet wird, um den Unterschied zwischen Singulett- und Triplett-Spinzuständen zu veranschaulichen. ($ 1 $) und ($ 2 $) werden zur Markierung von Elektronen verwendet.

spin states

Infolge der Symmetrie der Spinzustände werden die räumlichen Zustände für einen Singulettzustand als symmetrisch und für a als asymmetrisch bestimmt Triplett. Dies ist in der nächsten Abbildung dargestellt, die zur Veranschaulichung die für Partikel in einer Box aufgetragene Elektronendichte zeigt. Im Singulett drängen sich die Elektronen zusammen, aber im Triplett ist es ihnen "verboten", durch Symmetrie dieselbe Region zu besetzen (als Pauli-Ausschlussprinzip). In einigen Texten wird das Zusammenballen als "Fermi-Haufen" und das Fehlen dieses als "Fermi-Loch" bezeichnet, obwohl es in der Chemie nicht üblich zu sein scheint.

singelt-triplet-space

Ich bin verwirrt. Dies ist nur für ein 2D-Partikel?
Ist es nicht eine 1D-Box, bei der die beiden Koordinaten von der 1D-Position der beiden Partikel stammen? Und wie schließt die elektrostatische Abstoßung, wenn überhaupt, ein? Es scheint, dass dies wirklich zwei nicht elektrostatisch wechselwirkende Partikel in einer 1D-Box sind.
Die Abstoßung kommt von der Tatsache, dass Elektronen Fermionen sind, und somit von der Symmetrie, die dies auferlegt.
Fehler in 2D / 1D im Text korrigiert haben. Wellenfunktionen, die für ein Teilchen in einer Box unter Verwendung von ψ (x, n) = sin (nπx / L) ψ (x, n) = sin (nπx / L) berechnet wurden und dann ein Quadrat von Ψ = ψ (x1,1) ψ ( x2,2) ± ψ (x2,1) ψ (x1,2)
Ich denke immer noch, dass Sie die Coulomb-Elektronen-Elektronen-Abstoßung auslassen. Vergleichen Sie mit diesem Artikel, insbesondere Abschnitt IV Coulomb Integrals. http://www-alavi.ch.cam.ac.uk/papers/twoelinbox.pdf
Ein interessantes Papier. Ich habe nur Symmetrie und einfache Wellenfunktionen verwendet, um die Effekte zu veranschaulichen. Die * Energie * -Berechnung erfordert zwar eine Bewertung der Coulomb- und Austauschintegrale, aber die Symmetrie der Wellenfunktionen ist so, wie ich es geschrieben habe. Ein genaueres $ \ psi $ würde also zu besseren Zahlen führen, aber diese entsprechen im Wesentlichen meiner Form. Siehe Atkins & Friedmann 'Molecular Quantum Mechanics', 3. Aufl., Kap. 7.9 'Aufgeregte Zustände von Helium'.
#4
+4
DavePhD
2017-02-24 19:38:12 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Ja, die Wahrscheinlichkeitsdichte ist ungleich Null.

Das Buch Hochenergie-Atomphysik im Abschnitt "4.3 Kato-Höcker-Bedingungen" enthält eine detaillierte Erklärung, warum dies für den Singulett-Zustand so ist.

("Kato" ist Tosio Kato, der 1957 einen berühmten Artikel zu diesem Thema veröffentlichte. Über die Eigenfunktionen von Vielteilchensystemen in der Quantenmechanik Kommunikation in Rein und Angewandt Mathematics Vol. 10, Seiten 151-177.)

In Abschnitt 4.3.2 wird aus dem Hamilton-Operator eine Gleichung für ein Zwei-Elektronen-Atom abgeleitet.

Wobei $ r_1 $ und $ r_2 $ die Abstände der Elektronen vom Kern und $ r_ {12} $ der Abstand zwischen den Elektronen sind:

$ \ frac {\ partiell {\ Psi}} {\ teilweise {r_ {12}}} $ (bei $ r_ {12} = 0 $) $ = \ frac {m \ alpha} {2} \ Psi $

Schließlich In Abschnitt "4.4.3 Ungefähre Wellenfunktionen entlang von Koaleszenzlinien" ("Koaleszenz" bedeutet, dass sich zwei oder mehr Teilchen am selben Punkt befinden) wird eine ungefähre Wellenfunktion für zwei Elektronenatome abgeleitet, wenn sich Elektronen am selben Punkt befinden:

$ \ Psi = Ne ^ {- 2 \ eta R} $

wobei:

"R" der Abstand der beiden Elektronen vom Kern

$ \ eta = mZ \ alpha $

und für Helium $ N = 1,55 (m \ alpha) ^ 3 $

Kann ich hier die Referenzen hinzufügen, die zusammen mit Ihrem Kopfgeld erwähnt wurden, wie Fitzpatricks und Atkins?
@James ja, das ist in Ordnung
@James Dies ist die dritte Referenz, die ich in der Prämie auf Seite 121 erwähnt habe: https://books.google.com/books?id=jXcTObz5NW8C&pg=PA121&dq=two+electrons+%22same+point%22+helium+beryllium&hl=de&sa=X&ved = 0ahUKEwia-P62janSAhWB5CYKHYFVDG8Q6AEIJjAC # v = onepage & q = zwei% 20elektronen% 20% 22same% 20point% 22% 20helium% 20beryllium & f = false
@James Fitzpatrick Seite 220: https://books.google.com/books?id=v947DQAAQBAJ&pg=PA220&dq=Fitzpatrick+two+electrons+%22same+point%22&hl=de&sa=X&ved=0ahUKEwjC1OQJqA % 20electrons% 20% 22same% 20point% 22 & f = false
@James und verschiedene Atkins-Referenzen, wie z. B. Seite 119 hier atkins% 20two% 20electrons% 20% 22same% 20point% 22 & f = false und Seite 341 hier https://books.google.com/books?id=lk2PzH9LmS8C&pg=PA341&dq=atkins+two+electrons+%22same+point%22&hl=de&sa = X & ved = 0ahUKEwi60625jqnSAhWD5SYKHQnxBuYQ6AEIITAB # v = onepage & q = atkins% 20two% 20electrons% 20% 22same% 20point% 22 & f = false
Danke für die Links! Was ist Alpha hier übrigens? Es scheint wie ein Bildschirmfaktor für das Potenzial?
@James $ \ alpha = e ^ 2/4 \ pi \ epsilon_0 $
#5
+2
Chenxin
2017-02-14 04:28:02 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Sie haben Recht. Wenn zwei Elektronen den gleichen Platz einnehmen, ist die Abstoßung in der realen Lösung der Schrödinger-Gleichung unendlich groß.

Unter One Electron Approximation (HF, DFT) ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Elektronen (Spin-up und Spin-down) an derselben Stelle $ x_0 $ zu finden, ungleich Null.

Bei den beiden Elektronen mit entgegengesetztem Spin ist die Bewegung der Elektronen unkorreliert . Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, zwei Elektronen bei $ r_1 $ und $ r_2 $ zu finden, wie folgt geschrieben werden kann:

$$ P (r_1, r_2) = \ mid \ psi_1 (r_1) \ mid ^ 2 \ times \ mid \ psi_2 (r_2) \ mid ^ 2 $$

wenn $ r_1 = r_2 $, $ P (r_1, r_2) \ neq 0 $

Ich verstehe in HF, dass es eine andere Geschichte ist. Ich frage nach dem wirklichen Fall
Im ersten Absatz habe ich über den wirklichen Fall gesprochen. Vielleicht sollte ich später eine Implementierung machen.
Bitte beachten Sie Iwans Analogie zum kernnahen Fall.


Diese Fragen und Antworten wurden automatisch aus der englischen Sprache übersetzt.Der ursprüngliche Inhalt ist auf stackexchange verfügbar. Wir danken ihm für die cc by-sa 3.0-Lizenz, unter der er vertrieben wird.
Loading...