Alle Zitate stammen aus der Festkörperphysik von Ashcroft und Mermin.

Bravais-Gitter:

Ein grundlegendes Konzept bei der Beschreibung eines kristallinen Festkörpers ist das des Bravais-Gitter , das die periodische Anordnung angibt, in der die wiederholten Einheiten des Kristalls angeordnet sind. Die Einheiten selbst können einzelne Atome, Gruppen von Atomen, Molekülen, Ionen usw. sein, aber das Bravais-Gitter fasst nur die Geometrie der zugrunde liegenden periodischen Struktur zusammen, unabhängig davon, wie die tatsächlichen Einheiten aussehen können. "

Primitive Unit Cell:

Ein Raumvolumen, das, wenn es durch alle Vektoren in einem Bravais-Gitter übersetzt wird, nur den gesamten Raum ausfüllt, ohne sich selbst zu überlappen oder Hohlräume zu hinterlassen, wird als a bezeichnet primitive Zelle oder primitive Einheitszelle des Gitters.

Einheitszelle; Konventionelle Einheitszelle:

Man kann den Raum mit nichtprimitiven Einheitszellen füllen (einfach als Einheitszellen oder konventionelle Einheitszellen bezeichnet). Eine Einheitszelle ist eine Region, die nur den Raum ohne Überlappung ausfüllt Wenn die konventionelle Einheitszelle durch eine Teilmenge der Vektoren eines Bravais-Gitters übersetzt wird, wird sie im Allgemeinen so gewählt, dass sie größer als die primitive Zelle ist und die erforderliche Symmetrie aufweist.

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Kristallstruktur:

Ein physikalischer Kristall kann beschrieben werden, indem sein zugrunde liegendes Bravais-Gitter zusammen mit einer Beschreibung der Anordnung von Atomen, Molekülen, Ionen usw. innerhalb eines bestimmten angegeben wird primitive Zelle.

Aus Symmetrieüberlegungen ergeben sich also 14 Bravais-Gitter, die in 7 Kristallsysteme unterteilt sind (kubisch, tetragonal, orthorhombisch, monoklin, triklin, trigonal und hexagonal). Dies geschieht ausschließlich durch Aufzählung der Möglichkeiten, wie eine periodische Anordnung von Punkten in drei Dimensionen existieren kann.

Was sich nun an diesen Punkten befindet, ist eine Einheitszelle, die selbst eine gewisse Symmetrie aufweist. Somit kann die Kombination von Bravais-Gitter und Einheitszellensymmetrie erneut aufgezählt werden und man erhält 230 Raumgruppen.

Nun zu einigen Ihrer verwandten Fragen:

Alle kubisch verwandten Bravais-Gitter haben 90-Grad-Winkel, da sie auf kubischer Symmetrie basieren. Das trigonale Bravais-Gitter hat keine 90-Grad-Winkel, wird aber in grundlegenderen Lehrbüchern nicht viel erwähnt, weil es seltsam aussieht.

Warum keine fünfeckigen Einheitszellen? Nun, weil Sie den Raum nicht mit einem 5-fach symmetrischen Bravais-Gitter füllen können. Quasikristalle haben zwar eine 5-fache Symmetrie, sind jedoch eine Kachelung durch den Raum, die nicht den Regeln für ein Bravais-Gitter entspricht.

Wenn Sie der Regel folgen möchten, dass ein Kristall durch endlose Translationssymmetrie einer Einheitszelle gebildet wird, können Sie nur von zwei Strukturen ausgehen: Parallelepiped und hexagonale Prismen.

Mit Ausnahme von sechseckigen Prismen können Sie den Raum immer und nur füllen, indem Sie Parallelepipeds in alle drei Richtungen stapeln. Rhomboedrisch, kubisch, trigonal usw. sind Sonderfälle der "triklinen" Einheitszelle mit höherer Symmetrie. Es ist offensichtlich, dass es nicht endlos mehr Optionen gibt, die mehr symmetrisch sind . Diese machen sechs der sieben Kristallsysteme aus, und sechseckig ist der Sonderfall des siebten.

Die Bravais-Gitter stammen aus Einheitszellen, die eine interne Symmetrie aufweisen. Sie könnten auf diese verzichten, indem Sie sie mit einem der weniger symmetrischen Kristallsysteme beschreiben. Die Regel lautet jedoch, das Kristallsystem mit der höchsten Symmetrie zuzuweisen. Es gibt wieder nicht so viele Möglichkeiten, eine interne Symmetrie zu haben, so dass nur 14 Bravais-Gitter aus den 7 Kristallsystemen bestehen.

Das Paradigma besteht nicht darin, Wege zu finden, um das System endlos komplizierter zu machen. Beginnen Sie jedoch mit dem seltsamsten System, das den Raum ausfüllen kann, und denken Sie an die (begrenzten) Möglichkeiten, ihn einfacher (dh symmetrisch) zu gestalten.

Die Kristallstruktur und Symmetrie hängt von den Gitterparametern a, b, c und den Winkeln $ \ alpha, \ beta $ und $ \ gamma $ ab. Während der Wiederholung dieser Kombination wird eines der 14 Bravais-Gitter wiederholt. Daher ist keine weitere Kombination möglich. Deshalb haben wir nur 7 Kristallsysteme und 14 Bravais-Gitter

Bravais-Gitter haben Translationssymmetrie. Wie Sie bereits erwähnt haben, werden alle möglichen Translationssymmetrien in 14 Typen eingeteilt. Einige der Gitter mit zusätzlichen Symmetrien (zusätzlich zur Translationssymmetrie) sind bestimmten Typen zugeordnet. Beispielsweise weist das kubische Kristallsystem mit drei Unterkategorien die meisten Symmetriegrade auf. Jedes andere Gitter, das keine zusätzliche Symmetrie aufweist, befindet sich unter Triclinic. Daher können Sie keinen anderen Typ haben. Weil alle möglichen Translationssymmetrien mit zusätzlichen Punktsymmetrien kategorisiert sind und der Rest vom triklinen Typ ist. Die Notiz bleibt draußen.

Es gibt Punktgruppen, d.h. Kombination von Symmetrieelementen. Es könnten viele Kombinationen von Symmetrieelementen möglich sein. Es sind jedoch nur solche zulässig, die sich irgendwie gut in die Übersetzungssymmetrie einfügen. Im dreidimensionalen Raum sind aufgrund der obigen Einschränkungen nur 32 Punktgruppen zulässig. Dort erfordern 32 zulässige Punktgruppen 14 Bravais-Gitter, die Gruppen in sieben Systemen sind.